Apunts d’Estructures de Dades i Algorismes: Les classes de problemes P i NP

Classes de problemes – P i NP

Entrades	Problemes	Classes de problemes (no excloents)
\(x\)	\(\pi\)	P	Coneixem algorismes amb temps pitjor polinomial (o millor) per a decidir el problema.
\(x\)	\(\pi\)	NP	Coneixem algorismes en temps polinòmic indeterminista per a verificar si una solució és correcta.

Exemples de problemes que estan en NP:

HAM – és difícil trobar un cicle Hamiltonià en un graf (backtracking), però donada una sentència de vèrtexs és fàcil comprovar si és una solució.
Element mínim.
TSP (problema del viatjant de comerç).
Colorabilitat.
Quadrat llatí.
Sudoku.

Teorema

\(P \subseteq NP\)

Queda una pregunta clau: \(P = NP\)?

Reducció

Siguin \(L_1 \le E_1\) i \(L_2 \le E_2\) dos problemes decisionals. Diem que \(L_1\) es redueix a \(L_2\) en temps polinòmic si podem trobar un algorisme polinòmic \(A: L_1 \rightarrow L_2\), és a dir, que converteixi tota solució a \(E_1\) en una solució d'\(E_2\).

En altres paraules, una reducció en temps polinòmic d'\(L_1\) a \(L_2\) és un algorise \(R: E_1 \rightarrow E2 / \forall x \in E_1: x \in L1 \Leftrightarrow R(x) \in L_2\).

Podem reduir, per exemple, el problema del graf hamiltonià (HAM) al problema del viatjant de comerç (TSP).

Teorema: Si \(L_1 \le_p L_2\) i \(L_2 \in P\), llavors \(L_1 \in P\).

Un problema decisional \(L\) és NP-hard si tot problema en NP es pot reduir a ell en temps polinòmic. \(L \in \text{NP-hard} \Leftrightarrow \forall L' \in NP, L' \le_p L\).

Un problema és NP-complet si és NP-hard i es troba en NP.

Teorema:
\(L \in NP-hard, L \in P \Leftrightarrow P = NP\).

Teorema:
\(\left\{\begin{array}{l}L_1 \in \text{NP-C} \\ L_2 \in NP \\ L_1 \hookrightarrow L_2\end{array}\right\} L_2 \in NP-C\)

Teorema de Cook (~1970)
\(\small\text{CIRCUIT-SAT} \normalsize\in \small\text{NP-C}\) (va ser el primer problema NP-complet).

El problema decisional CIRCUIT-SAT pren com a entrada un circuit amb \(n\) entrades booleanes, una sortida i portes AND, OR i NOT i el que pregunta és, «hi ha alguna entrada del circuit que faci que la sortida sigui 1?».

Nota: Una possible solució donada per justificar que un problema decisional té solució s'anomena testimoni.

Solucions pràctiques per a problemes NP

Heurístiques.
Aproximacions.
Paral·lelisme, ordinadors quàntics…

El problema de l'aturada

A part de les classes de problemes P, NP i NP-C n'hi ha moltes d'altres, i una d'elles que cal mencionar és la dels problemes irresolubles: aquells que l'ordinador (o millor dit, una màquina de Turing) no pot solucionar.

Un exemple de problema irresoluble és el de l'aturada: donada la descripció d'un programa i el seu estat inicial, determinar si el programa, si l'executem, arribarà a completar-se o bé funcionarà fins la fi de l'eternitat. Podem veure-ho amb el següent programa d'exemple:

typedef String Programa;
typedef String Entrada;
 
// Funci&oacute; que retorna cert si el programa p, donada l&#39;entrada
// x, arriba a aturar-se
bool acaba(Programa p, Entrada x);
 
void vinga(Programa p) {
    // Entra en un bucle infinit si el programa p, donant-li com a entrada
    // el mateix codi del programa, arriba a aturar-se
    if (acaba(p, p)) while (true);
}