Apunts d’Estructures de Dades i Algorismes: Diccionaris

Introducció

Són un tipus abstracte de dades (TAD), és a dir, un conjunt d'elements i un conjunt d'operacions sobre ells.

Un diccionari és un conjunt d'elements amb una clau associada (treta d'un conjunt amb un ordre total definit) amb les operacions de cercar, inserir i esborrar un element.

Una estructura de dades és una estructura que ens permet implementar TAD.

Implementacions de diccionaris

1) Taules (no ordenades)

• Inserir un element nou: \(\theta(1)\).
• Esborrar un element: cost de cercar l'element (\(O(n)\)) + cost de treure'l de la taula (varia segons el mecanisme d'eliminació, possiblement \(O(n)\)).

2) Llistes (enllaçades, encadenades)

Per recórrer una llista s'ha de fer de forma seqüencial, mitjançant iteradors (punters).

• Inserir un element nou:
    - al principi: \(\theta(1)\);
    - al final de la llista, recorrent-la sencera: \(\theta(n)\).
• Cercar un element: \(O(n)\)
• Esborrar un element: \(O(n)\)

3) Taules de dispersió (hash tables)

El disseny de la funció de hash és molt important per obtenir taules ben equilibrades.

En cas pitjor, el cost serà de \(\theta(n)\), inserint al final amb una funció de dispersió que resulti en llistes llargues. Però, si la funció de dispersió està ben dissenyada, repartirà els elements equitativament, resultant llistes de mitjana \(\alpha = \frac{n}{M}\) amb un cost \(\theta(\alpha)\).

4) Arbres binaris de cerca (ABC, o Binary Search Tree, BST)

Un ABC és un arbre binari on cada node té una clau associada i els sub-arbres esquerra i dret compleixen les següents propietats:

1. \(\forall\) clau \(y\) associada a un node del sub-arbre esquerra d'un node amb clau \(x\) es compleix que \(y < x\).
2. \(\forall\) clau \(y\) associada a un node del sub-arbre dret d'un node amb clau \(x\) es compleix que \(y > x\).

Observacions:

1. Suposem que totes les claus són diferents.
2. Un arbre buit és per definició un ABC.

• Construir un ABC a partir d'un arbre buit i un conjunt d'\(n\) claus:
    - cas millor: \(\theta(n log n)\) (arbre equilibrat);
    - cas mitjà: \(\theta(n log n)\), suposant que totes les permutacions de les \(n\) claus són igualment probables;
    - cas pitjor: \(\theta(n^2)\) (ordenats).
• Inserir una clau en un arbre d'\(n\) nodes: \(\theta(h)\), on \(h\) és l'alçada de l'arbre.
  \(h = \begin{cases}n & \small en\ cas\ pitjor \\ log n & \small en\ el\ cas\ millor\ i\ mitj\grave{a}\end{cases}\)
• Cercar una clau en un arbre d'alçada \(h\): \(\theta(h)\).
• Esborrar:
   - Esborrar el 9: esborrar un fulla; és fàcil.
   - Esborrar el 7: esborrar un node amb un sub-arbre buit, és fàcil.
   - Esborrar l'11: cal substituir-lo pel mínim del sub-arbre dret (o bé pel màxim del sub-arbre esquerra).

   

Arbres AVL (Adel'son-Vel'skîi-Landis)

Un arbre AVL és un arbre binari de cerca tal que per tot node l'alçada del seu seu-arbre esquerre no difereix en més d'una unitat que l'alçada del seu sub-arbre dret.

• Cercar una clau: algorisme idèntic al dels ABC i de cost \(O(log n)\).
• Inserir una clau: es fa servir el mateix algorisme dels ABC i desprès, si la propietat de les alçades ja no és certa, es reestructura l'arbre per tal que torni a ser un arbre AVL.
  Per tal de dur a terme la reestructuració, cada node ha de contenir informació de la seva alçada. A més, definim el concepte de factor d'equilibri, com a l'alçada del sub-arbre esquerra menys l'alçada del sub-arbre dret; per ser \({-1, 0, 1}\). Al fer una inserció, el primer node en tenir un mal factor d'equilibri (és a dir, de valor absolut superior a 1) és el node crític i és on caldrà fer una rotació. Podem trobar-nos amb quatre casos:
  • Inserció al sub-node esquerre del sub-node esquerre del node crític (cas LL, left-left): cal fer una rotació simple.
  • Inserció al sub-node dret del sub-node esquerre del node crític (cas LR): cal fer una rotació doble.
  • Inserció al sub-node esquerre del sub-node dret del node crític (cas RL): cal fer una rotació doble.
  • Inserció al sub-node dret del sub-node dret del node crític (cas RR): cal fer una rotació doble.

  El cost d'una inserció és \(\theta(h)\) (on h és l'alçada de l'abre, \(h = \theta(log n)\)) i el d'una rotació és \(\theta(1)\).

• Esborrar una clau: poden caldre fins a \(log n\) passos per a rebalancejar l'arbre.

Cues de prioritat

Es creen en temps \(O(n)\) amb l'algorisme heapify; són un arbre que compleix la propietat que la clau de tot node és inferior o igual a la clau del node pare.

• Crear una cua de prioritats: \(O(n)\).
• Consultar-ne el valor mínim o màxim: \(\theta(1)\).
• Esborrar-ne el valor mínim o màxim: \(\theta(log n)\).
• Inserir un element: \(O(log n)\).

Tipus abstractes de dades de la llibreria estàndard de C++

No comments
© Siegfried-Angel Gevatter Pujals, 2011. | Permalink | License | Post tags: algorithmics, eda, fib, universitat