Apunts de Càlcul: Funcions d’una variable

Introducció

Considerem una funció real de variable real \(f: A \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(\forall x \in A\) existeix com a màxim un \(y \in \mathbb{R} : y=f(x)\). Definim:

Definim el domini d’una funció:
\(\operatorname{Dom} f = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists f(x) \in \mathbb{R}\right\} = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists y \in \mathbb{R} / y=f(x)\right\}\)

I el recorregut d’una funció:
\(\operatorname{Im} f = \left\{f(x) / x \in \operatorname{Dom} f\right\} = \left\{y \in \mathbb{R} / \exists x \in \operatorname{Dom} f / y=f(x)\right\}\)

També: \(\operatorname{Graf}(f) = \left\{(x,y) / x \in \operatorname{Dom} f\right\}\)

Exemple

\(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)=|x|\end{array}\)

\(\operatorname{Dom f} = \mathbb{R}\)
\(\operatorname{Im f} = \mathbb{R^+} \cup \{0\} = [0, +\infty)\)
\(\operatorname{Graf(f)} = \left\{(x,x) / x \ge 0\right\} \cup \left\{(x,-x) / x

Tipus de funcions

Una funció \(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\):

és parella \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = f(x)\)
és imparella \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = -f(x) \)
és periòdica de període \(w \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, \begin{cases}f(x+w) = f(x) \\ \forall k \in \mathbb{Z}, f(x+kw)=f(x)\end{cases}\)
és creixent (no decreixent) \(\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x
és estrictament creixent \(\Leftrightarrow \forall x, y \in \operatorname{Dom} f, x
és decreixent \(\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x
és estrictament decreixent \(\Leftrightarrow \forall x,x \in \operatorname{Dom} f, x f(y)\)
està acotada superiorment \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \le k\)
està acotada inferiorment \(\Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \ge m\)
està acotada \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, |f(x)| \le k\)
és injectiva \(\Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in \operatorname{Dom} f, x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\)
és exhaustiva \(\Leftrightarrow \begin{array}{l}\operatorname{Im} f = \mathbb{R} \\ \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \operatorname{Dom} f / y = f(x)\end{array}\)
és bijectiva \(\Leftrightarrow\) és injectiva i exhaustiva (\(\forall y \in \mathbb{R}, \exists!x / f(x)=y\))

Operacions amb funcions

\(
\begin{cases}
\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\
\begin{array}{ll}g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto g(x)\end{array} \\
\lambda \in \mathbb{R}
\end{cases}
\)

\(
\begin{array}{l}
\begin{array}{ll}f+g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (f+g)(x)=f(x)+g(x)\end{array} \\
\begin{array}{ll}f/g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ si } g(x) \ne 0\end{array} \\
\begin{array}{ll}\lambda f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\end{array} \\
\end{array}
\)

Composició de funcions

\(f\circ g \;\;\;\;\;\; \begin{array}{l}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto (f\circ g)(x)=f(g(x))\end{array}\)

Funció inversa

\(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\)

Funció injectiva \(\Rightarrow\) la seva funció inversa és \(\begin{array}{ll}f^{-1}: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f^{-1}(x)\end{array}\) \(f^{-1}\circ f = f \circ f^{-1} = I\) \(\begin{cases}\forall x \in \operatorname{Dom} f^{-1} & f(f^{-1}(x))=x \\ \forall x \in \operatorname{Dom} f & f^{-1}(f(x))=x\end{cases}\)

Asímptotes

\(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\)

\(x=a\) és una asímptota vertical de la funció \(f \Leftrightarrow \lim_{x \to a} (x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases}\)
\(x=b\) és una asímptota horizontal… per la dreta \(\Leftrightarrow \lim_{x \to +\infty} f(x) = b\) per l’esquerra \(\Leftrightarrow \lim_{x \to -\infty} f(x) = b\)
\(y=mx+n\) és una asímptota oblíqua… per la dreta d’\(y=f(x) \Leftrightarrow m=\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}\) i \(m=\lim_{x \to +\infty}(f(x)-mx)\) per l’esquerra (igual que per la dreta però amb \(-\infty\))

Continuïtat

\(\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \mathbb{R}\end{array}\)

\(f\) és contínua en \(a\) \(\Leftrightarrow \exists f(a) \land \exists \lim_{x \to a} f(x) \land \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) (amb \(a \in \operatorname{Dom}f\)).

\(f\) és contínua en \(A\) \(\Leftrightarrow f\) és contínua en \(a\), \(\forall a \in A\).

Tipus de punts de discontinuïtat d’una funció

\(a\) és un punt de discontinuïtat evitable d’\(f\) \(\Leftrightarrow \exists \lim_{x \to a} f(x) \land (\nexists f(a) \lor f(a) \ne \lim_{x \to a} f(x))\).

Per evitar aquest tipus de discontinuïtat podem redefinir la funció: \(F(x)=\begin{cases}f(x) & x \ne a \\ \lim f(x) & x=a\end{cases}\)

Si \(\nexists \lim_{x \to a}f(x) \in \mathbb{R} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat essencial.

Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat asimptòtica o de 2a espècia.

Si \(\begin{cases}\lim_{x\to a^{-}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim{x \to a^{+}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim_{x \to a^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to a^{+}} f(x)\end{cases} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat de salt finit.

Derivabilitat

\(\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \operatorname{Dom}f\end{array}\)	\(f\) és derivable en \(a\) si \(\exists \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \in \mathbb{R}\). Aquest és igual a \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\) = \(f’(a)\) = pendent de la recta tangent a la curva \(y = f(x)\) en el punt d’abscissa \(a\), \((a, f(a))\).
	Recta tangent a \(y=f(x)\) on el punt d’\(x=a\): \(y=f(a)+f’(a)(x-a)\).