Introducció
Considerem una funció real de variable real \(f: A \in \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(\forall x \in A\) existeix com a màxim un \(y \in \mathbb{R} : y=f(x)\). Definim:
Definim el domini d’una funció:
\(\operatorname{Dom} f = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists f(x) \in \mathbb{R}\right\} = \left\{x \in \mathbb{R} / \exists y \in \mathbb{R} / y=f(x)\right\}\)
I el recorregut d’una funció:
\(\operatorname{Im} f = \left\{f(x) / x \in \operatorname{Dom} f\right\} = \left\{y \in \mathbb{R} / \exists x \in \operatorname{Dom} f / y=f(x)\right\}\)
També: \(\operatorname{Graf}(f) = \left\{(x,y) / x \in \operatorname{Dom} f\right\}\)
Exemple
| \(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)=|x|\end{array}\) |
\(\operatorname{Dom f} = \mathbb{R}\) \(\operatorname{Im f} = \mathbb{R^+} \cup \{0\} = [0, +\infty)\) \(\operatorname{Graf(f)} = \left\{(x,x) / x \ge 0\right\} \cup \left\{(x,-x) / x < 0\right\}\) |
Tipus de funcions
Una funció \(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\):
- és parella \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = f(x)\)
- és imparella \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(-x) = -f(x) \)
- és periòdica de període \(w \in \mathbb{R}\) \(\Leftrightarrow \forall x \in \operatorname{Dom} f, \begin{cases}f(x+w) = f(x) \\ \forall k \in \mathbb{Z}, f(x+kw)=f(x)\end{cases}\)
- és creixent (no decreixent) \(\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) \le f(y) \)
- és estrictament creixent \(\Leftrightarrow \forall x, y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) < f(y) \)
- és decreixent \(\Leftrightarrow \forall x,y \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) \ge f(y)\)
- és estrictament decreixent \(\Leftrightarrow \forall x,x \in \operatorname{Dom} f, x < y \Rightarrow f(x) > f(y)\)
- està acotada superiorment \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \le k\)
- està acotada inferiorment \(\Leftrightarrow \exists m \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, f(x) \ge m\)
- està acotada \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R} / \forall x \in \operatorname{Dom} f, |f(x)| \le k\)
- és injectiva \(\Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in \operatorname{Dom} f, x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)\)
- és exhaustiva \(\Leftrightarrow \begin{array}{l}\operatorname{Im} f = \mathbb{R} \\ \forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \operatorname{Dom} f / y = f(x)\end{array}\)
- és bijectiva \(\Leftrightarrow\) és injectiva i exhaustiva (\(\forall y \in \mathbb{R}, \exists!x / f(x)=y\))
Operacions amb funcions
|
\( \begin{cases} \begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ \begin{array}{ll}g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto g(x)\end{array} \\ \lambda \in \mathbb{R} \end{cases} \) |
\( \begin{array}{l} \begin{array}{ll}f+g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (f+g)(x)=f(x)+g(x)\end{array} \\ \begin{array}{ll}f/g: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \text{ si } g(x) \ne 0\end{array} \\ \begin{array}{ll}\lambda f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\end{array} \\ \end{array} \) |
Composició de funcions
\(f\circ g \;\;\;\;\;\; \begin{array}{l}\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ x \mapsto (f\circ g)(x)=f(g(x))\end{array}\)
Funció inversa
| \(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\) | Funció injectiva \(\Rightarrow\) la seva funció inversa és \(\begin{array}{ll}f^{-1}: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f^{-1}(x)\end{array}\) \(f^{-1}\circ f = f \circ f^{-1} = I\) \(\begin{cases}\forall x \in \operatorname{Dom} f^{-1} & f(f^{-1}(x))=x \\ \forall x \in \operatorname{Dom} f & f^{-1}(f(x))=x\end{cases}\) |
Asímptotes
\(\begin{array}{ll}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array}\)| \(x=a\) és una asímptota vertical de la funció \(f \Leftrightarrow \lim_{x \to a} (x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases}\) |  |
\(x=b\) és una asímptota horizontal…
|
 |
\(y=mx+n\) és una asímptota oblíqua…
|
|
Continuïtat
| \(\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \mathbb{R}\end{array}\) |
\(f\) és contínua en \(a\) \(\Leftrightarrow \exists f(a) \land \exists \lim_{x \to a} f(x) \land \lim_{x \to a} f(x) = f(a)\) (amb \(a \in \operatorname{Dom}f\)). \(f\) és contínua en \(A\) \(\Leftrightarrow f\) és contínua en \(a\), \(\forall a \in A\). |
Tipus de punts de discontinuïtat d’una funció
|
\(a\) és un punt de discontinuïtat evitable d’\(f\) \(\Leftrightarrow \exists \lim_{x \to a} f(x) \land (\nexists f(a) \lor f(a) \ne \lim_{x \to a} f(x))\). Per evitar aquest tipus de discontinuïtat podem redefinir la funció: \(F(x)=\begin{cases}f(x) & x \ne a \\ \lim f(x) & x=a\end{cases}\) |
|
Si \(\nexists \lim_{x \to a}f(x) \in \mathbb{R} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat essencial. Si \(\lim_{x \to a} f(x) = \begin{cases}+\infty \\ -\infty \\ \infty\end{cases} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat asimptòtica o de 2a espècia. Si \(\begin{cases}\lim_{x\to a^{-}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim{x \to a^{+}} f(x) \in \mathbb{R} \\ \land \\ \lim_{x \to a^{-}} f(x) \ne \lim_{x \to a^{+}} f(x)\end{cases} \Rightarrow a\) és un punt de discontinuïtat de salt finit. |
Derivabilitat
| \(\begin{array}{l}\begin{array}{l?}f: & \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ & x \mapsto f(x)\end{array} \\ a \in \operatorname{Dom}f\end{array}\) |
\(f\) és derivable en \(a\) si \(\exists \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \in \mathbb{R}\). Aquest és igual a \(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\) = \(f’(a)\) = pendent de la recta tangent a la curva \(y = f(x)\) en el punt d’abscissa \(a\), \((a, f(a))\). |
 |
Recta tangent a \(y=f(x)\) on el punt d’\(x=a\): \(y=f(a)+f’(a)(x-a)\). |
No comments
© Siegfried-Angel Gevatter Pujals, 2011. |
Permalink |
License |
Post tags: calculus, fib, maths, universitat